۱_ در بعضی از کشورها میوه را به صورت دانه‌ای می‌فروشند. اگر قیمت هر سیب را با a و قیمت هر گلابی را با b نشان دهیم، موارد زیر را با عبارت جبری نشان دهید.
- قیمت ۵ سیب:
- قیمت ۷ گلابی:
- قیمت ۳ سیب و ۲ گلابی:
اگر فردی از میوه‌فروشی در یک روز ۳ سیب و در روز بعد ۲ سیب و ۴ گلابی خریده باشد، مجموع هزینهٔ این دو خرید چقدر می‌شود؟
$$هزینه = \_ + \_ = \_$$
با استفاده از متغیرهای داده شده ($a$ برای قیمت سیب و $b$ برای قیمت گلابی)، هزینه‌ها را به صورت عبارت‌های جبری می‌نویسیم. 🍎🍐
- **قیمت ۵ سیب:** $۵ \times a = ۵a$
- **قیمت ۷ گلابی:** $۷ \times b = ۷b$
- **قیمت ۳ سیب و ۲ گلابی:** $۳a + ۲b$
**محاسبه هزینه کل دو خرید:**
برای محاسبه هزینه کل، ابتدا هزینه هر خرید را جداگانه نوشته و سپس جملات متشابه (آنهایی که متغیر یکسان دارند) را با هم جمع می‌کنیم.
- **هزینه خرید اول (۳ سیب):** $۳a$
- **هزینه خرید دوم (۲ سیب و ۴ گلابی):** $۲a + ۴b$
حالا این دو هزینه را با هم جمع می‌کنیم:
$$هزینه = \underbrace{(۳a)}_{خرید\;اول} + \underbrace{(۲a + ۴b)}_{خرید\;دوم} = \underbrace{(۳a + ۲a)}_{جمع\;سیب‌ها} + ۴b = ۵a + ۴b$$
۲_ الف) مساحت هر دو مستطیل را با عبارت جبری نشان دهید.
$S_۱$ = مساحت مستطیل (۱)
$S_۲$ = مساحت مستطیل (۲)
$S = S_۱ + S_۲ = \_ + \_$
ب) دو مستطیل را کنار هم گذاشته‌ایم. توضیح دهید مساحت این شکل چگونه به دست آمده است؟ $S=(۲+۳)a$
ج) پاسخ‌های الف و ب را با هم مقایسه کنید.
این فعالیت به ما کمک می‌کند تا خاصیت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع را به صورت تصویری درک کنیم.
**الف) مساحت جداگانه مستطیل‌ها:**
- **مساحت مستطیل (۱):** طول $a$ و عرض $۲$ است. $S_۱ = a \times ۲ = ۲a$
- **مساحت مستطیل (۲):** طول $a$ و عرض $۳$ است. $S_۲ = a \times ۳ = ۳a$
- **مجموع مساحت‌ها:**
$$S = S_۱ + S_۲ = ۲a + ۳a$$
**ب) توضیح مساحت شکل ترکیبی:**
وقتی دو مستطیل را کنار هم قرار می‌دهیم، یک مستطیل بزرگ‌تر به وجود می‌آید که:
- طول آن همچنان $a$ است.
- عرض آن برابر با مجموع عرض‌های دو مستطیل کوچک، یعنی $۲+۳$ است.
بنابراین، مساحت آن از حاصل‌ضرب طول در عرض جدید به دست می‌آید:
$$S = a \times (۲+۳)$$
**ج) مقایسه پاسخ‌ها:**
- پاسخ قسمت (الف) پس از ساده‌سازی (جمع جملات متشابه): $S = ۲a + ۳a = ۵a$
- پاسخ قسمت (ب) پس از ساده‌سازی: $S = a \times (۲+۳) = a \times ۵ = ۵a$
**نتیجه:** هر دو پاسخ با هم برابر هستند. این نشان می‌دهد که $a \times (۲+۳) = a \times ۲ + a \times ۳$. این همان **خاصیت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع** است.
۳_ مانند سؤال ۲ برای شکل زیر یک تساوی بنویسید. توضیح دهید که با کمک تساوی بالا چگونه می‌توان یک عدد بیرون پرانتز را در جمله‌های آن ضرب کرد.
این شکل نیز خاصیت توزیع‌پذیری ضرب را نشان می‌دهد. می‌توانیم مساحت کل شکل را به دو روش محاسبه کنیم.
**روش اول: محاسبه مساحت مستطیل بزرگ**
مستطیل بزرگ دارای طول $۵$ و عرض $a+b$ است. مساحت کل آن برابر است با:
$$S_{کل} = ۵ \times (a+b)$$
**روش دوم: محاسبه مجموع مساحت‌های دو مستطیل کوچک**
- مساحت مستطیل زرد رنگ: $۵ \times a = ۵a$
- مساحت مستطیل بنفش رنگ: $۵ \times b = ۵b$
- مجموع مساحت‌ها برابر است با:
$$S_{کل} = ۵a + ۵b$$
**تساوی به دست آمده:**
از برابر قرار دادن دو روش بالا، به تساوی زیر می‌رسیم:
$$۵(a+b) = ۵a + ۵b$$
**توضیح قانون:**
این تساوی نشان می‌دهد که برای ضرب یک عدد (مانند $۵$) در یک عبارت پرانتزی (مانند $a+b$)، باید آن عدد را در **تک‌تک جملات داخل پرانتز** ضرب کرده و سپس حاصل‌ها را با هم جمع کنیم. این قانون به **خاصیت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع** معروف است.
